Kolmiulotteiset kappaleet

Tavallisimmat kolmiulotteiset kappaleet matematiikassa ovat kuutio, suorakulmainen särmiö ja suorakulmainen lieriö. Muita arkielämästä tuttuja kolmiulotteisia kappaleita ovat pallo ja kartiot. Kolmiulotteisille kappaleille lasketaan yleensä tilavuus. Lisäksi voidaan laskea esim. kappaleen kokonaispinta-ala.

Kuutio, suorakulmainen särmiö ja suora ympyrälieriö


Pyramidi, suora ympyräkartio ja pallo

Kuutio ja suorakulmainen särmiö

Suorakulmaisen särmiön kaikki kulmat ovat 90°:tta ja se muodostuu kuudesta suorakulmion muotoisesta tahkosta. Suorakulmaisessa särmiössä vastakkain olevat tahkot ovat yhteneviä.


Kuutio on suorakulmaisen särmiön erikoistapaus. Siinä kaikki särmät ovat yhtä pitkiä ja tahkot yhtä suuria. Kaikki kulmat ovat 90°.


Kolmiulotteisesta kappaleesta voidaan piirtää levityskuva, josta on helppo laskea kappaleen ulkopinta-ala. Levityskuvasta nähdään, minkälaisista osista kappale on muodostunut.

Esimerkki

Esim. 1. Suorakulmaisen särmiön pituus on 47 cm, korkeus 32 cm ja leveys on 25 cm. Piirrä levityskuva suorakulmaisesta särmiöstä.

Piirretään ensin kuva suorakulmaisesta särmiöstä.


Piirretään levityskuva:

Kuution ja suorakulmaisen särmiön tilavuus ja kokonaispinta-ala

Suorakulmaisen särmiön pituus, korkeus ja leveys nimetään usein kirjaimilla a, b ja c. Koska kuutiossa kaikki särmät ovat yhtä pitkät, merkitään pituutta, korkeutta ja leveyttä kirjaimella a.

Suorakulmainen särmiö.


Kuution kaikkien särmien pituudet ovat yhtä suuret.


Kuution tilavuus

Kuution tilavuus, kun kuution särmän pituus on a

${V=\text{pituus}\cdot \text{korkeus}\cdot \text{leveys}=a\cdot a\cdot a=a^3}$


Kuution kokonaispinta-ala

Kuutiossa on kuusi tahkoa, joiden jokaisen pinta-ala voidaan laskea $a^2$. Kuution kokonaispinta-ala, kun kuution särmän pituus on a:

${A=6\cdot a\cdot a=6a^2}$


Suorakulmaisen särmiön tilavuus

${V=\text{pituus}\cdot \text{korkeus}\cdot \text{leveys}=a\cdot b\cdot c}$


Suorakulmaisen särmiön kokonaispinta-ala

Suorakulmaisessa särmiössä vastakkaiset tahkot ovat aina saman kokoisia. Samanlaisia tahkoja on siis aina kaksi. Tämän vuoksi kokonaispinta-ala on

${A=2\cdot \text{pituus}\cdot \text{korkeus}+2\cdot \text{pituus}\cdot \text{leveys}+2\cdot \text{korkeus}\cdot \text{leveys}}$

eli

${A=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c}$

Esimerkki



Esim. 2. Laske esimerkin 1 suorakulmaisen särmiön tilavuus litroina ja kokonaispinta-ala.



Tilavuus: \\
Muutetaan mitat senttimetreistä desimetreiksi, koska ${dm^3=l}$.

${V=a\cdot b\cdot c=4{,}7\ dm\cdot 3{,}2\ dm\cdot 2{,}5\ dm=37{,}6\ dm^3≈38\ l}$



Kokonaispinta-ala:

${A=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c}$

${=2\cdot4{,}7\ dm\cdot3{,}2\ dm+2\cdot4{,}7\ dm\cdot2{,}5\ dm+3{,}2\ dm\cdot2{,}5\ dm}$

${=69{,}58\ dm^2\approx70\ dm^2}$


Suora ympyrälieriö

Suora ympyrälieriö on kappale, jonka pohjana ja kantena on ympyrä. Suoran ympyrälieriön korkeusjana on 90° kulmassa pohjana ja kantena olevien ympyröiden suhteen. Ympyrälieriössä on vaippa, joka on levitettynä suorakulmion muotoinen. Arkikielessä suoraa ympyrälieriötä kutsutaan usein sylinteriksi.


**Suoran ympyrälieriön tilavuus ja kokonaispinta-ala**

${\text{tilavuus}=\text{pohjan ala}\cdot \text{korkeus}}$

${V=A_p\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h}$


${\text{kokonaispinta-ala}=2\cdot \text{pohjan ala} + \text{vaipan ala}}$

${A=2\cdot A_p\ + A_v=2\cdot\pi\cdot r^2+\pi\cdot d\cdot h}$


Tehtävät