meta data for this page
  •  

Erot

Tämä näyttää erot valitun ja nykyisen version kesken tästä sivusta.

Linkki vertailunäkymään

Seuraava revisio		Edellinen revisio
matematiikka:kuutio_ja_suorakulmainen_saermioe [20/11/2019 11:47] – luotu elisamatematiikka:kuutio_ja_suorakulmainen_saermioe [30/03/2020 11:03] (nykyinen) – harri
Rivi 3: Rivi 3:
 Tavallisimmat kolmiulotteiset kappaleet matematiikassa ovat kuutio, suorakulmainen särmiö ja suorakulmainen lieriö. Muita arkielämästä tuttuja kolmiulotteisia kappaleita ovat pallo ja kartiot. Kolmiulotteisille kappaleille lasketaan yleensä tilavuus. Lisäksi voidaan laskea esim. kappaleen kokonaispinta-ala. Tavallisimmat kolmiulotteiset kappaleet matematiikassa ovat kuutio, suorakulmainen särmiö ja suorakulmainen lieriö. Muita arkielämästä tuttuja kolmiulotteisia kappaleita ovat pallo ja kartiot. Kolmiulotteisille kappaleille lasketaan yleensä tilavuus. Lisäksi voidaan laskea esim. kappaleen kokonaispinta-ala.
  
 +[{{:matematiikka:kolmiulotteiset:kuutio_saermioe_lierioe.png?400|Kuutio, suorakulmainen särmiö ja suora ympyrälieriö}}]
 +
 +\\
 +[{{:matematiikka:kolmiulotteiset:pallo_kartiot.png?400|Pyramidi, suora ympyräkartio ja pallo}}]
  
-\\  
 ==== Kuutio ja suorakulmainen särmiö ==== ==== Kuutio ja suorakulmainen särmiö ====
  
 Suorakulmaisen särmiön kaikki **kulmat ovat 90°**:tta ja se muodostuu kuudesta suorakulmion muotoisesta tahkosta. Suorakulmaisessa särmiössä vastakkain olevat tahkot ovat yhteneviä. Suorakulmaisen särmiön kaikki **kulmat ovat 90°**:tta ja se muodostuu kuudesta suorakulmion muotoisesta tahkosta. Suorakulmaisessa särmiössä vastakkain olevat tahkot ovat yhteneviä.
  
 +{{:matematiikka:kolmiulotteiset:saermioe.png?250}}
 +
 +\\
 +**Kuutio on suorakulmaisen särmiön erikoistapaus.** Siinä kaikki särmät ovat yhtä pitkiä ja tahkot yhtä suuria. Kaikki kulmat ovat 90°.
 +
 +\\
 +Kolmiulotteisesta kappaleesta voidaan piirtää **levityskuva**, josta on helppo laskea kappaleen ulkopinta-ala. Levityskuvasta nähdään, minkälaisista osista kappale on muodostunut.
 +
 +== Esimerkki ==
 +
 +**Esim. 1.** Suorakulmaisen särmiön pituus on 47 cm, korkeus 32 cm ja leveys on 25 cm. Piirrä levityskuva suorakulmaisesta särmiöstä.\\
 +\\
 +Piirretään ensin kuva suorakulmaisesta särmiöstä.
 +
 +{{:matematiikka:kolmiulotteiset:saermioe2.png?200}}
 +
 +\\
 +Piirretään levityskuva:
 +
 +{{:matematiikka:kolmiulotteiset:levityskuva.png?400}}
 +
 +==== Kuution ja suorakulmaisen särmiön tilavuus ja kokonaispinta-ala ====
 +
 +Suorakulmaisen särmiön pituus, korkeus ja leveys nimetään usein kirjaimilla //a, b// ja //c//. Koska kuutiossa kaikki särmät ovat yhtä pitkät, merkitään pituutta, korkeutta ja leveyttä kirjaimella //a//.
 +
 +[{{:matematiikka:kolmiulotteiset:saermioe3.png?220|Suorakulmainen särmiö.}}]
 +
 +\\
 +[{{:matematiikka:kolmiulotteiset:kuutio.png?150|Kuution kaikkien särmien pituudet ovat yhtä suuret.}}]
 +
 +\\
 +<WRAP round box 550px> **Kuution tilavuus**
 +
 +Kuution tilavuus, kun kuution särmän pituus on a
 +
 +${V=\text{pituus}\cdot \text{korkeus}\cdot \text{leveys}=a\cdot a\cdot a=a^3}$
 +
 +</WRAP>
 +\\
 +<WRAP round box 550px> **Kuution kokonaispinta-ala**
 +
 +Kuutiossa on kuusi tahkoa, joiden jokaisen pinta-ala voidaan laskea $a^2$.
 +Kuution kokonaispinta-ala, kun kuution särmän pituus on a:
 +
 +${A=6\cdot a\cdot a=6a^2}$
 +
 +</WRAP>
 +
 +\\
 +<WRAP round box 550px> **Suorakulmaisen särmiön tilavuus**
 +
 +${V=\text{pituus}\cdot \text{korkeus}\cdot \text{leveys}=a\cdot b\cdot c}$
 +
 +</WRAP>
 +\\
 +<WRAP round box 550px> **Suorakulmaisen särmiön kokonaispinta-ala**
 +
 +Suorakulmaisessa särmiössä vastakkaiset tahkot ovat aina saman kokoisia. Samanlaisia tahkoja on siis aina kaksi. Tämän vuoksi kokonaispinta-ala on
 +
 +${A=2\cdot \text{pituus}\cdot \text{korkeus}+2\cdot \text{pituus}\cdot \text{leveys}+2\cdot \text{korkeus}\cdot \text{leveys}}$
 +
 +eli
 +
 +${A=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c}$
 +
 +</WRAP>
 +
 +== Esimerkki ==
 +
 +\\
 +\\
 +**Esim. 2.** Laske esimerkin 1 suorakulmaisen särmiön tilavuus litroina ja kokonaispinta-ala.
 +
 +{{:matematiikka:kolmiulotteiset:saermioe2.png?200}}\\
 +\\
 +//**Tilavuus:** // \\
 +\\
 +Muutetaan mitat senttimetreistä desimetreiksi, koska ${dm^3=l}$.
 +
 +${V=a\cdot b\cdot c=4{,}7\ dm\cdot 3{,}2\ dm\cdot 2{,}5\ dm=37{,}6\ dm^3≈38\ l}$
 +
 +\\
 +\\
 +//**Kokonaispinta-ala:** //
 +
 +${A=2\cdot a\cdot b+2\cdot a\cdot c+2\cdot b\cdot c}$
 +
 +${=2\cdot4{,}7\ dm\cdot3{,}2\ dm+2\cdot4{,}7\ dm\cdot2{,}5\ dm+3{,}2\ dm\cdot2{,}5\ dm}$
 +
 +${=69{,}58\ dm^2\approx70\ dm^2}$
 +
 +\\
 +==== Suora ympyrälieriö ====
 +
 +Suora ympyrälieriö on kappale, jonka pohjana ja kantena on ympyrä. Suoran ympyrälieriön korkeusjana on 90° kulmassa pohjana ja kantena olevien ympyröiden suhteen. Ympyrälieriössä on vaippa, joka on levitettynä suorakulmion muotoinen. Arkikielessä suoraa ympyrälieriötä kutsutaan usein sylinteriksi.
 +
 +{{:matematiikka:kolmiulotteiset:ympyraelierioe.png?200|}}
 +
 +
 +\\
 +<WRAP round box 450px> **Suoran ympyrälieriön tilavuus ja kokonaispinta-ala**
 +
 +${\text{tilavuus}=\text{pohjan ala}\cdot \text{korkeus}}$
 +
 +${V=A_p\cdot h=\pi\cdot r^2\cdot h}$
  
 \\  \\ 
-Kuutio on suorakulmaisen särmiön erikoistapaus. Siinä kaikki särmät ovat yhtä pitkiä ja tahkot yhtä suuria. Kaikki kulmat ovat 90°.+${\text{kokonaispinta-ala}=2\cdot \text{pohjan ala} + \text{vaipan ala}}$ 
 + 
 +${A=2\cdot A_p\ + A_v=2\cdot\pi\cdot r^2+\pi\cdot d\cdot h}$ 
 + 
 +</WRAP> 
 + 
 +\\ 
 +== Tehtävät == 
 + 
 +{{:matematiikka:kolmiulotteiset:kolmiulotteiset_kappaleet_tehtaevaet.pdf|Kolmiulotteiset kappaleet, tehtävät}} 
 + 
 +