meta data for this page
Erot
Tämä näyttää erot valitun ja nykyisen version kesken tästä sivusta.
Both sides previous revisionEdellinen revisioSeuraava revisio | Edellinen revisioSeuraava revisioBoth sides next revision | ||
matematiikka:potenssi_ja_juuret [30/10/2019 12:42] – elisa | matematiikka:potenssi_ja_juuret [03/08/2021 14:26] – [Syventävää tietoa potensseista] harri | ||
---|---|---|---|
Rivi 3: | Rivi 3: | ||
==== Potenssi ==== | ==== Potenssi ==== | ||
+ | Potenssilaskuihin liittyvät **käsitteet** // | ||
+ | Esim. | ||
+ | ${6^3=6\cdot6\cdot6=216}$ | ||
+ | Tässä esimerkissä kantaluku on 6 ja eksponentti on 3. | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | == Esimerkkejä == | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Kirjoita potenssilaskut kertolaskuna ja laske. | ||
+ | |||
+ | ${8^2=8\cdot8=64}$ | ||
+ | |||
+ | ${2^6=2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2=64}$ | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Kirjoita potenssilasku kertolaskuna. | ||
+ | |||
+ | ${x^4=x\cdot x\cdot x\cdot x}$. Tämän tehtävän vastausta ei voida laskea, koska ei tiedetä ${x}$:n suuruutta. Vastaus on yleensä selkeämpi antaa potenssilaskuna eli ${x^4}$. | ||
+ | |||
+ | \\ \\ | ||
+ | Negatiivinen kantaluku: | ||
+ | |||
+ | ${\left(-3\right)^4=-3\cdot\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)\cdot\left(-3\right)=81}$ | ||
+ | |||
+ | ${\left(-6\right)^5=-6\cdot\left(-6\right)\cdot\left(-6\right)\cdot\left(-6\right)\cdot\left(-6\right)=-7776}$ | ||
+ | |||
+ | Kantaluku on kummassakin tehtävässä negatiivinen. Kun eksponentti on **parillinen** (2, 4, 6, ...), vastaus on **positiivinen**. Kun eksponentti on **pariton** (1, 3, 5, ...), vastaus on **negatiivinen**. | ||
+ | \\ \\ Kun potenssilasku kirjoitetaan auki kertolaskuna ja kantaluku on negatiivinen, | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | Seuraavassa esimerkissä miinus ei ole osa kantalukua: | ||
+ | |||
+ | ${-5^4=-5\cdot5\cdot5\cdot5=-625}$ | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | == Eksponenttina 1 tai 0 == | ||
+ | |||
+ | Kun eksponenttina on 1, vastaus on kantaluku. | ||
+ | |||
+ | Esim. ${9^1=9}$ tai ${15^1=15}$ | ||
+ | |||
+ | \\ \\ Kun eksponenttina on 0, vastaus on aina 1. | ||
+ | |||
+ | Esim. ${7^0=1}$ tai ${13^0=1}$ | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | == Neliö ja kuutio == | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | [{{ : | ||
+ | **Eksponenttiä 2 sanotaan usein neliöksi**. Esim. luvun 7 neliö tarkoittaa laskutoimitusta ${7^2=49}$. | ||
+ | \\ \\ Eksponentin 2 nimitys neliö tulee neliön pinta-alan laskusta. Neliössä on neljä yhtä pitkää sivua ja neliön kaikkien kulmien suuruus on 90°. Neliön pinta-ala lasketaan //sivun pituus · sivun pituus// ja koska sivujen pituudet ovat neliössä samat voidaan laskea ${\left(sivun\ pituus\right)^2}$. | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | **Eksponenttia 3 sanotaan usein kuutioksi**. Esim. luvun 5 kuutio tarkoittaa laskutoimitusta ${5^3=125}$. | ||
+ | \\ \\ Kuutio on kolmiulotteinen kappale. Kuution kaikki sivut eli särmät ovat yhtä pitkiä ja kaikki kulmat ovat 90°. Kuution tilavuus lasketaan //särmän pituus · särmän pituus · särmän pituus// eli ${\left(särmän\ pituus\right)^3}$. | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
==== Juuret ==== | ==== Juuret ==== | ||
+ | Tavallisin juuri on **neliöjuuri**. Neliöjuuri on neliöön (eli toiseen potenssiin) korottamisen käänteinen laskutoimitus. Joitakin neliöjuuri voi laskea päässälaskuna, | ||
+ | \\ \\ **Kuutiojuuri** on kuutioon (eli kolmanteen potenssiin) korottamisen käänteinen laskutoimitus. Kuutiojuuri pystyy laskemaan päässälaskuna vain muutamia. | ||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | == Esimerkkejä == | ||
+ | |||
+ | Neliöjuuria: | ||
+ | |||
+ | ${\sqrt{16}=4}$. Mieti, mikä luku potenssiin 2 on 16 eli ${x^2=16}$ → ${x=4}$ | ||
+ | |||
+ | ${\sqrt{81}=9}$. Mieti, mikä luku potenssiin 2 on 81 eli ${x^2=81}$ → ${x=9}$ | ||
+ | |||
+ | ${\sqrt{50}≈7, | ||
+ | |||
+ | ${\sqrt{-9}}$ ei ole ratkaisua. Jos minkä tahansa negatiivisen luvun korottaa toiseen potenssiin, vastaus on aina positiivinen. Neliöjuuren arvoa ei voida määrittää negatiivisista luvuista. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Kuutiojuuria: | ||
+ | |||
+ | ${\sqrt[3]{27}=3}$. Mieti, mikä luku potenssiin 3 on 27 eli ${x^3=27}$ → ${x=3}$ | ||
+ | |||
+ | ${\sqrt[3]{125}=5}$. Mieti, mikä luku potenssiin 3 on 125 eli ${x^3=125}$ → ${x=5}$ | ||
+ | |||
+ | ${\sqrt[3]{-125}=-5}$. Kuutiojuuri voidaan ottaa myös negatiivisesta luvusta, koska ${(-5)^3=-125}$ | ||
+ | |||
+ | ${\sqrt[3]{95}≈4, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | == Tehtäviä == | ||
+ | |||
+ | [[: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | \\ | ||
+ | ==== Syventävää tietoa potensseista ==== | ||
+ | |||
+ | == Kymmenpotenssimuoto == | ||
+ | |||
+ | Kymmenpotensseja käytetään, | ||
+ | |||
+ | * Suurissa luvuissa on positiivinen eksponentti, | ||
+ | * Pienissä luvuissa on negatiivinen eksponentti, | ||
+ | |||
+ | Pilkkua siirretään kymmenpotenssin osoittama määrä oikealle (pos. eksponentti) tai vasemmalle (neg. eksponentti) ja lisätään tarvittava määrä nollia. | ||
+ | |||
+ | == Esimerkkejä == | ||
+ | |||
+ | \\ ${8\ 000\ 000\ 000\ =\ 8\cdot10^9}$ | ||
+ | |||
+ | ${7\ 000\ =\ 7\cdot10^3}$ | ||
+ | |||
+ | ${0{,}000\ 000\ 05\ =\ 5\cdot10^{-8}}$ | ||
+ | |||
+ | ${0{,}000\ 000\ 000\ 01\ =\ 1\cdot10^{-11}}$ | ||
+ | |||
+ | \\ ${320\ 000\ 000\ =3{, | ||
+ | |||
+ | ${789\ 000\ =7{, | ||
+ | |||
+ | ${0{,}000\ 017\ =1{, | ||
+ | |||
+ | ${0{,}000\ 000\ 31\ =3{, | ||
+ | |||
+ | \\ ${10^6=1\cdot10^6=1\ 000\ 000}$ | ||
+ | |||
+ | ${10^{12}=1\cdot10^{12}=1\ 000\ 000\ 000\ 000}$ | ||
+ | |||
+ | \\ ${5\cdot10^7=50\ 000\ 000}$ | ||
+ | |||
+ | ${3{, | ||
+ | |||
+ | ${0{,}000\ 8=8\cdot10^{-4}}$ | ||
+ | |||
+ | ${0{,}000\ 000\ 158=1{, | ||
+ | |||
+ | == Negatiivinen eksponentti == | ||
+ | |||
+ | Kuten kymmenpotenssien yhteydessä jo huomattiin, negatiivinen eksponentti viittaa yleensä pieneen desimaalilukuun. Jos potenssilaskun kantaluku on positiivinen kokonaisluku ja eksponentti on negatiivinen kokonaisluku, | ||
+ | |||
+ | == Esimerkkejä == | ||
+ | |||
+ | ${3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}\approx0{, | ||
+ | |||
+ | ${7^{-5}=\frac{1}{7^5}=\frac{1}{16807}\approx0{, | ||
+ | |||
+ | == Potenssien laskusäännöt == | ||
+ | |||
+ | Potensseihin liittyy laskusääntöjä, | ||
+ | |||
+ | \\ {{: | ||
+ | |||
+ | == Tehtäviä == | ||
+ | |||
+ | [[: | ||
+ | |||
+ | Kurssin itsenäiset suorittajat: | ||
- | ==== Kymmenpotenssimuoto ==== | ||